las torres de hanoi

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Los aficionados a las matemáticas recreativas conocen varios juegos, puzzles y paradojas donde es necesario desarrollar algún tipo de cálculo, en mayor o menor complejidad. Martin Gardner ha sido un divulgador científico y mago ilusionista que ha escrito algunos libros que plantean curiosos retos matemáticos, como por ejemplo las Torres de Hanoi. Las Torres de Hanoi es un “clásico” de estos puzzles, y representa uno de los juegos de lógica más conocidos.

Su planteamiento es el siguiente: sobre un soporte hay tres ejes verticales. En el eje de la izquierda se encuentran insertados tres discos de madera cuyos diámetros están ordenados de mayor a menor tamaño de forma que sobre los más grandes reposan los más pequeños. Los ejes central y derecho están vacíos en esta posición inicial.

El juego consiste en pasar todos los discos del eje de la izquierda al eje de la derecha, utilizando el eje central como apoyo a los movimientos que se necesiten. Los discos deben quedar ordenados como están al inicio del juego, de mayor a menor tamaño, y hay que traspasar los discos usando el menor número de movimientos. Para ello es preciso seguir escrupulosamente estas reglas:

• Sólo se puede mover un disco de cada vez.


• Solo se puede mover el disco que se encuentra en la parte superior de cada eje.


• Un disco puede descansar sobre otro de mayor diámetro, pero no a la inversa.


• Los tres ejes se podrán utilizar indistintamente.

Conforme el número de discos aumenta, también lo hace el número de movimientos necesarios, y por tanto la dificultad del problema. Como puedes ver para dos discos necesitas un mínimo de 3 movimientos, para 3 discos 7 movimientos, para 4 discos 15 movimientos, y, en general, para n discos se necesitan (2ˆn - 1) movimientos. A partir de 5 discos el problema se hace sensiblemente más difícil.

El planteamiento inicial de su creador, Edouard Lucas, era para 8 discos. Lucas fue un reconocido matemático por sus trabajos sobre la serie de Fibonacci. Publicó el juego ‘La tour de Hanoi’ en 1883, y al año siguiente otro divulgador científico llamado Henri de Parville lo hizo popular, desarrollando alrededor del juego una leyenda asombrosa que ocurrió en la ciudad india de Benarés, que Rabindranath Tagore consideraba la ciudad más antigua del mundo, y que decía:

“En el gran templo de la ciudad de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, había una base de bronce bruñido, brillante como el sol, sobre la cual había clavadas 3 agujas verticales de diamante de un codo de longitud. Cuando Dios cré el mundo, en una de las agujas colocó sesenta y cuatro discos de oro, ordenados de mayor a menor diámetro según ascendían por las agujas. Desde entonces, día y noche sin descanso, los sacerdotes del templo se turnan en el trabajo de mover los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes impuestas e inviolables por Brahma, que requieren que siempre debe haber algún sacerdote trabajando en esta difícil tarea, no pueden mover más de un disco de cada vez y deben colocar cada disco en alguna de las agujas de modo que no cubra a un disco de diámetro menor. Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó en el momento de la Creación a otra aguja, el templo y los brahmanes se convertirán en polvo y, junto con ellos, el mundo entero desaparecerá”.

La única objeción que se me ocurre es que, quizá algún monje con algo más de iniciativa, podría haber traspasado esa pesada carga no sé… quizá a algún pequeño demonio que actuase en calidad de esclavo. Todo el mundo sabe que los demonios son muy ingeniosos en la resolución de este tipo de problemas y que, aun a regañadientes, con un buen conjuro los puedes tener trabajando para tí sin quejas y gratis durante… no sé… ¿millones de años?.

Y así han pasado millones de años.

Por eso “Las Torres de Hanoi” también son conocidas como  “Las torres de Brahma” o “El problema del fin del mundo”.

Como curiosidad, recordemos la petición que el avispado Sissa hizo a su rey como pago por el juego del ajedrez. Se trataba de ir colocando el doble de granos de trigo en cada casilla, desde la primera en que sólo se ponía un grano, y que al completar los sesenta y cuatro escaques del tablero, se convertía en una cifra inimaginable e imposible de satisfacer. En este caso hemos visto que el traslado de los 64 discos requerirá 2 elevado a 64 - 1 movimientos, un número demasiado grande para poder nombrarlo. Si cada movimiento fuese ejecutado en, digamos un segundo por decir algo, deberíamos estar moviendo discos de oro durante unos 600 mil millones de años, redondeando grosso modo, y esto representa más de 40 veces la existencia de nuestro universo.